9 INFERENCIA NO PARAMÉTRICA
Los métodos no paramétricos comprenden técnicas inferenciales que pueden aplicarse en un amplio rango de escenarios. En general, sus supuestos son menos restrictivos que los correspondientes a las técnicas clásicas basadas en la distribución normal (cf. sección 6.3).
¿¡No paramétricos!?
La denominación de este conjunto de métodos —como no paramétricos— es probablemente la más popular.
Esta puede inducir a la idea de que la inferencia no se realiza sobre parámetros poblacionales, lo cual no es del todo preciso.
Aunque es cierto que pueden aplicarse métodos inferenciales generales sobre las funciones de distribución de las poblaciones, en lugar de hacerlo sobre alguno de sus parámetros particulares —como ocurre con las pruebas de bondad de ajuste—, las técnicas más utilizadas tienen parámetros poblacionales como objetos inferenciales.
La verdadera característica de estos métodos es que no parten del marco conceptual de una distribución particular —v. gr., la normal—, sino que admiten una distribución cualquiera.
En tal sentido, una denominación más precisa podría ser métodos de libre distribución, que es la utilizada por autores como Maritz (1995) y Conover (1999).
Autores como Lehmann y D’Abrera (1975) y Hettmansperger (1984) prefieren enfatizar el mecanismo subyacente, por lo que utilizan la denominación inferencia basada en rangos.
En la actualidad, el término no paramétrico se ha convertido en una especie de paraguas que recoge técnicas tan diversas como pruebas de permutación, bootstrap y algoritmos de machine learning como random forests o redes neuronales.
En el presente capítulo el término se utiliza en su acepción clásica, centrada principalmente en métodos inferenciales basados en rangos.
¿¡Y los supuestos!?
Otro de los aspectos que a menudo genera confusión es el relacionado con los supuestos.
Si bien es cierto que los métodos no paramétricos son válidos en un ámbito mucho más amplio que el definido por la distribución normal, sigue requiriéndose la satisfacción de algunos supuestos.
La independencia sigue siendo tan necesaria como lo es en los métodos basados en la distribución normal (cf. sección 6.3.1).
La falta de independencia entre las observaciones genera un problema de validez interna que no es corregible mediante la aplicación de métodos no paramétricos.
Muchos de los métodos expuestos en los capítulos anteriores tienen análogos no paramétricos. Los métodos no paramétricos aunque imponen menos restricciones en términos de satisfacción de supuestos, son generalmente menos potentes que sus equivalentes paramétricos.
Por tal motivo, la secuencia que suele seguirse al analizar una variable inicia con el modelo más potente posible, verificando la satisfacción de sus supuestos. Si no se satisfacen, un segundo paso puede consistir en reescalar la respuesta mediante la aplicación de alguna transformación: muchos problemas de desviaciones de supuestos suelen corregirse por esta vía. Si aun después de la transformación persisten las desviaciones observadas, debe recurrirse a técnicas que no estén soportadas en tales supuestos.
¿¡Y si sé que las respuestas no son normales!?
Si usted ha llegado a la conclusión de que sus variables no son normales, sin realizar ninguna evaluación, tiene toda la razón: ninguna variable de campo es normal.
Esto no implica, sin embargo, que muchas variables no puedan exhibir un comportamiento distribucional compatible con el de la distribución normal, en cuyo caso, los modelos basados en esta distribución serían pertinentes y generalmente más potentes que los correspondientes métodos no paramétricos.
¡Deles la oportunidad!
¡Use el más potente!
En los cursos de métodos estadísticos así como en la mayoría de textos —incluyendo el presente— se ejemplifican los resultados de los experimentos a través de una variable respuesta.
Aunque esta estrategia facilita el seguimiento minucioso de la variable, es necesario tener presente que la gran mayoría de experimentos generan múltiples respuestas y que cada una exige su propio análisis (cf. nota 6.1).
En tal sentido, no existen “experimentos paramétricos” o “experimentos no paramétricos”. Dentro de un mismo experimento puede haber respuestas que —en la escala original— satisfagan supuestos; otras que también los satisfagan tras aplicarles alguna transformación, y otras más que no satisfagan supuestos ni aun en escala transformada.
Una práctica razonable consiste en emplear para cada variable —de entre los métodos para los que se satisfagan supuestos— el que brinde mayor potencia.
9.1 Estadísticos de orden y rangos
Como preámbulo a los métodos inferenciales no paramétricos, resulta conveniente formalizar un par de conceptos transversales a estos y estrechamente vinculados entre sí.
Los estadísticos de orden no son exclusivos del ámbito no paramétrico. Se emplean en el cálculo de la mediana (cf. sección 2.1.1.2), de los cuantiles (cf. sección 2.1.4), del estadístico de la prueba de Shapiro-Wilk (cf. sección 4.1), así como en los procedimientos secuenciales de ajuste de los valores p (cf. secciones 8.10, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14 y 8.15).
Nótese que las ambos conceptos se definen a partir de la muestra ordenada. La tabla 9.1 facilita su visualización.
| Valores muestrales | Muestra ordenada | Estadísticos de orden | Rangos |
|---|---|---|---|
| 7.5 | 1.9 | \(Y_{(1)}\) | 1 |
| 6.4 | 2.8 | \(Y_{(2)}\) | 2 |
| 2.8 | 3.1 | \(Y_{(3)}\) | 3 |
| 9.3 | 3.4 | \(Y_{(4)}\) | 4 |
| 7.2 | 5.8 | \(Y_{(5)}\) | 5 |
| 5.8 | 6.4 | \(Y_{(6)}\) | 6 |
| 12.5 | 6.9 | \(Y_{(7)}\) | 7.5 |
| 7.5 | 6.9 | \(Y_{(8)}\) | 7.5 |
| 6.9 | 7.2 | \(Y_{(9)}\) | 9 |
| 3.4 | 7.5 | \(Y_{(10)}\) | 11 |
| 1.9 | 7.5 | \(Y_{(11)}\) | 11 |
| 3.1 | 7.5 | \(Y_{(12)}\) | 11 |
| 7.5 | 9.3 | \(Y_{(13)}\) | 13 |
| 6.9 | 12.5 | \(Y_{(14)}\) | 14 |
En la primera columna se tiene una muestra de tamaño \(n=14\) en un orden arbitrario.
En la segunda columna aparecen los mismos 14 valores muestrales ordenados ascendentemente. Esto facilita identificar los correspondientes estadísticos de orden.
En la tercera columna se presenta la nomenclatura de los estadísticos de orden: la variable aleatoria, con el subíndice del correspondiente orden entre paréntesis.
Los subíndices de los estadísticos de orden siguen una secuencia estricta de 1 hasta \(n\), independientemente de que existan o no observaciones empatadas. Cualquier muestra de tamaño \(n\) tiene asociados \(n\) estadísticos de orden.
Para la asignación de rangos (cuarta columna) no solo se tiene en cuenta la posición de cada valor en la muestra ordenada, sino también su relación con las observaciones circundantes.
En una muestra en la que todas las observaciones fueran diferentes, los rangos coincidirían con el subíndice de los estadísticos de orden. No obstante, cuando hay empates, el rango de la secuencia de valores empatados se obtiene como el promedio de los subíndices de los correspondientes estadísticos de orden.
Así, los estadísticos de orden séptimo y octavo de la muestra de la tabla 9.1 son coincidentes en valor: \(Y_{(7)}=Y_{(8)}=6.9.\) Por tanto, se les asigna el mismo rango a estas dos observaciones, el cual se calcula como el promedio de los subíndices de los correspondientes estadísticos de orden: \(\text{rango}=\frac{7+8}{2}=7.5.\)
Análogamente, a las observaciones correspondientes a los estadísticos de orden 10, 11 y 12 les corresponde el rango de sus posiciones promedio en la muestra ordenada, esto es, 11.
La tabla 9.1 facilita visualizar esta situación:
Nótese que la asignación de rangos tiene en cuenta la jerarquía de cada observación con respecto a las demás.
Al asignar un rango promedio a una secuencia de observaciones empatadas, se considera que dicha secuencia ocupa todas las posiciones involucradas en el empate. Así, la asignación de 2 rangos 7.5 equivale a ocupar las posiciones 7 y 8, por lo que el siguiente rango disponible es 9. Algo análogo sucede al asignarles el rango 11 a 3 observaciones (equivalente a asignar rangos 10, 11 y 12), con lo cual el siguiente rango disponible es 13.
Esta estrategia de asignación de rangos hace que la suma de rangos satisfaga la relación establecida mediante la fórmula de Gauss.
¿¡Fórmula de Gauss!?
Existe una anécdota según la cual, Carl Friedrich Gauss, en edad escolar, resolvió de manera instantánea el problema de sumar los primeros 100 números naturales.
No discutiremos qué parte de esta historia es mito y qué otra es verídica, pues Hayes (2006) ya lo ha hecho de manera magistral. En su lugar, presentaremos la lógica subyacente.
Si se escriben los primeros 100 números en orden ascendente y se emparejan con la misma serie en orden descendente, puede observarse que la suma de cada par es igual al tamaño de la serie más uno; en este caso, 101.\[ \begin{align} &\,\,\,\,\,\,1 &2 \quad\ &\,\,\,3 \quad &\cdots &\quad &98 \quad\ &99 \quad &100\\[1.4em] &100 &\quad \,\,\,\,\,99 \quad\ &98 \quad &\cdots &\quad &\,\,3 \quad\ &\,\,\,2 \quad &\,\,\,\,\,\,1\\[1.4em] \end{align} \]
\[
\begin{align}
&\ 101 \!& \ \ \ \ \ \ 101&\ \ \ 101&\ \ \ &\cdots&\ \ \ &\!101 &\!\!\!\!\!\!\!101\ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ \ \ 101
\end{align}
\]
La suma de tales totales es \(100 \times 101.\) Y, puesto que la serie se ha duplicado (una serie ascendente y otra descendente), el producto se divide entre 2 para obtener el total de la serie.
En general,
\[
\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}
\]
La suma de rangos de una muestra de tamaño \(n\) —sin importar que haya empates— satisface la siguiente relación:
\[
\sum\limits_{i=1}^n R_i=\frac{n(n+1)}{2}
\tag{9.1}\]
Para la muestra de la tabla 9.1, puede verificarse que:
\[
\sum\limits_{i=1}^{14} R_i=\frac{14 \times 15}{2}=105
\]
Cuando la asignación de rangos se realizaba manualmente, esta verificación facilitaba detectar ranqueos erróneos. En la actualidad, esta relación sigue siendo útil para entender la lógica de algunas pruebas.
Para obtener los estadísticos de orden en R se utiliza la función sort{base}:
Y <- c(7.5, 6.4, 2.8, 9.3, 7.2, 5.8, 12.5, 7.5, 6.9, 3.4, 1.9, 3.1, 7.5, 6.9)
sort(Y) [1] 1.9 2.8 3.1 3.4 5.8 6.4 6.9 6.9 7.2 7.5 7.5 7.5 9.3 12.5Como es de esperarse, el resultado es la muestra ordenada.
Los rangos se obtienen mediante la función rank{base}:
rank(Y) [1] 11.0 6.0 2.0 13.0 9.0 5.0 14.0 11.0 7.5 4.0 1.0 3.0 11.0 7.5Nótese que los rangos no corresponden a la muestra ordenada, sino a cada uno de los valores muestrales en el mismo orden en que se ingresan. Así, por ejemplo, a la observación 7.5 le corresponde el rango 11, a la observación 6.4 el rango 6, etc. (cf. tabla 9.1).
¡Mantenga los rangos promedio!
La asignación de rangos ilustrada anteriormente coincide en la función rank con el método promedio (ties.method = "average").
Este es el método que la función maneja por defecto, por lo que no es necesario realizar ningún ajuste.
No obstante, la función rank incluye otros métodos de ajuste de empates que no coinciden con la estrategia utilizada en inferencia no paramétrica, por lo que no deben utilizarse en este contexto.
En desarrollo…
Referencias bibliográficas
Conover, W. J. (1999). Practical nonparametric statistics (3rd ed.). John Wiley & Sons.
Hayes, B. (2006). Gauss’s Day of Reckoning: A famous story about the boy wonder of mathematics has been told in more than a hundred ways. But is it true? American Scientist, 94(3), 200-205. https://doi.org/10.1511/2006.59.200
Hettmansperger, T. P. (1984). Statistical inference based on ranks (1st ed.). John Wiley & Sons.
Lehmann, E. L. and D’Abrera, H. J. M. (1975). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks (1st ed.). Holden-Day.
Maritz, J. S. (1995). Distribution-free statistica methods (2nd ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9781003059905